Родился 18 октября 1944 года в Ленинграде.

В 1968 году Бекоев окончил ЛГИТМиК, учился у народного артиста РСФСР, профессора Леонида Макарьева.
Свою первую заметную роль исполнил в грузинском короткометражном фильме "Омар Джохадзе" (реж. Коте Сурмава, 1963). Дмитрий Бекоев сыграл в этой картине роль солдата, пожертвовавшего жизнью ради спасения ребёнка.
Служил в Ленинградском театре им. Ленинского Комсомола (ныне Балтийский Дом), где создал значительные, заметные и выразительные образы на сцене.
Работал режиссёром в любительском театральном коллективе ДК им. Ф.Э.Дзержинского под руководством Михаила Александровича Левшина, превратившемся впоследствии в народный театр «Собеседник».
Актёр много выступал в Ленконцерте, создавая очень выразительные сценки и миниатюры по произведениям Трумена Капоте, Зощенко, Платонова, Чехова и Шергина.
Телезрителям актер известен по ролям в сериалах «Тайны следствия», «Улицы разбитых фонарей», фильму Александра Сокурова «Русский ковчег».
Последние годы жизни Дмитрий Гаврилович отдал работе в детском театре "На Неве", в труппу которого он пришёл в начале двухтысячных.

Ушел из жизни 29 марта 2013 года.