Родилась 25 сентября 1926 года в деревне Красное Липецкой области.

Затем семья Козлёнковых переехала в Москву и жила на Сретенке. Именно там Клава и пошла в школу. С детства она увлекалась танцами, любила выступать на утренниках. Когда она училась в старших классах, началась Великая Отечественная война. Чтобы помочь фронту, Клавдия пошла работать на школьный комбинат – шила белье для солдат. Утром училась в школе, а по вечерам работала.

В 1946-1948 годах училась в школе-студии МХАТ. В 1952 году окончила Театральное училище имени Б.В. Щукина.

С 1952 года работала по договорам на разных киностудиях.
В 1964-1990 годах — актриса киностудии имени Горького.

Исполнительница небольших ролей — своих современниц.

В 1944 году ассистентка режиссёра, случайно увидев её на улице, пригласила на роль школьницы. Это был фильм «Это было в Донбассе» (режиссер Луков). Так состоялся дебют в кино.

В 1965 году Клавдия Козлёнкова снялась в главной роли — Галай — в фильме «Удивительная сила». Её героиня — прообраз Гагановой, Героя Социалистического Труда, которая взяла отстающую бригаду и вывела ее в передовые.

В 1970-е годы снялась в первых сериалах отечественного кинематографа: «Тени исчезают в полдень» (Авдотья) и «Вечный зов» (Ульяна). Её героини были простыми деревенскими женщинами, которые помогают строить новую жизнь на селе.

Затем была целая киногалерея матерей («Здравствуй, это я!», «О чём молчала тайга», «День и вся жизнь», «Золотой шлем», «Сергей Кольцов», «Красиво жить не запретишь»).

Актёрская невостребованность привела Клавдию Прокофьевну в группу дублирования иностранных картин. Её обучал дубляжу режиссёр Жано (муж Янины Жеймо). Актриса озвучивала французские, египетские, узбекские, польские и немецкие картины.

Снималась и в рекламе фирмы «Домик в деревне». Она была первой бабушкой, которая сказала, что «Хорошо иметь домик в деревне».

В своей актёрской биографии она сыграла большое количество подружек главных героинь, соседей, простых женщин, но самой своей любимой работой актриса называет роль няни в фильме «У истока дней».

Ушла из жизни 8 августа 2005 года в Москве. Похоронена актриса на 76-м участке Химкинского кладбища.

(Марина Кравченко, "Характерные актёры российского кино").